南京大学终身教育学院

2026年9月29日（周二）晚19:30-21:00，南京大学校友终身学习辅助计划第219期"流行上的分析"在南京大学"暾学堂"开讲。本次讲座邀请到的主讲嘉宾是南京大学数学学院李嘉禹教授。

李教授长期从事几何分析研究，是国家基金委创新群体带头人、教育部长江学者特聘教授（国家级领军人才计划入选者）、国家杰出青年科学基金获得者。第十四届中国数学会副理事长。2010年10月至2021年11月担任中国科学技术大学数学科学学院执行院长。2001年至2004年担任中德几何分析伙伴小组组长。2004年至2009年担任国际理论物理中心（ICTP）研究员，负责几何与分析国际合作方面的工作。曾获得北京青年科技奖，香港求是基金会"杰出青年学者奖"，中国数学会"陈省身数学奖"，国家自然科学二等奖。

本期讲座李教授从现实世界的弯曲现象出发，层层拆解几何分析的发展脉络，打通古典微分几何、黎曼几何、非线性偏微分方程与物理前沿之间的联系，为校友们带来一场兼具思想深度与学科广度的数学盛宴。

讲座开篇，李嘉禹从大众熟知的自然现象切入，回答 "为什么要研究流形"。他介绍，早在古希腊时期，亚里士多德借助月食地影、北极星高度变化等现象推断地球为球体，后经麦哲伦环球航行完成实践验证。球面无法用单一平面坐标系完整刻画，正是流形最直观的原型。而爱因斯坦广义相对论提出宇宙时空是弯曲的，1919年爱丁顿借助日全食观测证实光线在太阳边缘发生偏折，进一步印证，描述我们所处的宇宙，已经不能局限于平直的欧氏空间，流形理论成为必不可少的数学工具。

在数学基础准备部分，讲座回顾微分几何发展的经典路径。李教授从勾股定理、空间弧长微分公式讲起，引入三维空间曲面参数化，讲解曲面第一基本形式，定义曲面上曲线长度与内蕴距离。讲座重点阐释高斯定理：曲面的弯曲程度即高斯曲率，完全由曲面内部度量决定，无需依靠外部三维空间即可计算曲面弯曲性质。在此基础之上，黎曼将二维曲面理论推广至高维空间，建立黎曼几何，引入克里斯托费尔符号、黎曼曲率张量，用以刻画高维流形的弯曲特征。

李教授进一步介绍流形空间中的微分算子。不同于欧氏空间，弯曲流形上需要建立协变导数，并给出流形版本拉普拉斯——贝尔特拉米算子的表达式。讲座还介绍椭圆偏微分方程理论、丘成桐完备非紧流形正调和函数梯度估计等经典结论，搭建起流形上分析研究的基础工具箱。

"几何催生了大量非线性方程，是非线性问题的重要来源。"讲座的第三部分，聚焦非线性带来的核心挑战。讲座以广义相对论爱因斯坦场方程、流形之间的调和映照方程作为典型案例。调和映照将测地线、调和函数纳入统一框架，但其方程自带非线性项，给理论分析带来巨大困难。讲座介绍SacksUhlenbeck 开创性的分析思想：当调和映照序列能量有界时，导数可能趋于无穷，通过尺度变换捕捉爆破泡泡，建立二维调和映照的奇点可去定理、小能量正则性与能量等式。李教授梳理了Jost、Parker、丁伟岳、田刚等中外学者后续拓展工作，提及佩雷尔曼证明庞加莱猜想过程中就用到相关能量等式，同时介绍 Evans、Bethuel、Li-Tian等学者在高维调和映照紧性方向的重要成果。

几何方程会自发产生奇点，因此对奇点的研究无可回避。讲座结合2020年诺贝尔物理学奖成果展开解读：彭罗斯利用数学手段严格证明黑洞是广义相对论必然推论，黑洞核心存在时空奇点，现有物理规律在此失效。在数学层面，二维弱调和映照具备良好正则性，但高维情形会出现不连续的反例。李教授介绍稳态调和映照概念，阐述 Evans、Bethuel等学者关于稳态调和映照奇点集维数的系列正则性定理，厘清奇点集合的大小与约束条件。

讲座最后阐释引入几何流的动因。将静态几何问题转化为随时间演化的偏微分方程，借助演化来理解几何对象与奇点行为。讲座介绍欧氏空间热方程与热核，讲解 Li-Yau 热核梯度估计。重点介绍哈密尔顿提出的 Ricci 流方程，佩雷尔曼通过剖析 Ricci流演化过程中的奇点行为，完成著名的庞加莱猜想证明。除此之外，讲座还介绍镜像对称背景下高余维平均曲率流的相关研究成果。

讲座之后，李教授就直播间校友关注的人工智能会对数学研究带来怎样的影响等问题进行了回应。他认为，人工智能本质上只是科研辅助工具，可以为数学研究提供助力，帮助科研人员完成计算、验证、检索等基础性工作；但AI并不具备真正的原创思考能力，难以实现重大的思想突破，不会取代人类开展创新性数学研究。数学的重大突破，依旧依靠数学家的洞察力、逻辑思辨与创造性思维。

本期讲座由现实现象回溯数学源头，由古典几何延伸至当代几何分析前沿，打通数学理论与广义相对论、黑洞物理等物理学前沿的交叉纽带，流形上的分析，是理解所处弯曲宇宙的数学语言，也是解决重大几何猜想强有力的研究范式。本期讲座以深入浅出的方式带领我们走近曲面几何的世界，帮我们建立起几何分析的宏观图景，加深了对几何与偏微分方程交叉学科的理解。